Esplorare la meccanica geometric

Due formulazioni di Hamilton e di Lagrange sono alla base della meccanica classica. Queste formulazioni sono sia eleganti che generali nel senso che forniscono un quadro unificato per trattare sistemi fisici apparentemente diversi, che vanno dalle classiche particelle e corpi rigidi alle teorie dei campi e i sistemi quantistici. Dalla metà del secolo scorso, la meccanica classica e le teorie dei campi classiche si sono evolute insieme, con picchi nella matematica come la geometria differenziale e la teoria dei gruppi di Lie.

L'obiettivo del progetto GEOMECH (“Geometric mechanics”) era quello di riunire scienziati impegnati nella “geometrizzazione” delle teorie della fisica. Essi hanno applicato gli strumenti e il linguaggio della meccanica geometrica moderna per studiare, ad esempio, i sistemi meccanici che hanno ruote che scorrono senza scivolare e/o certi tipi di contatto strisciante. Questi sistemi sono esempi dei cosiddetti sistemi non olonomici. A differenza dei sistemi lagrangiani o hamiltoniani, questi sistemi più generali sono soggetti a costrizioni sulla velocità e abbastanza spesso dimostrano un comportamento contro-intuitivo. Nel contesto del progetto GEOMECH, i matematici di sette paesi hanno condiviso le loro conoscenze su questi sistemi non olonomici e hanno approfondito la comprensione attuale del loro comportamento. È anche stata studiata la discretizzazione dei sistemi meccanici di tipo non olonomico e la costruzione di integratori numerici per gli stessi.

Gli scienziati GEOMECH hanno anche studiato l'effetto della simmetria nella meccanica e nella teoria dei campi. Le simmetrie in matematica sono rappresentate dalle azioni dei gruppi di Lie e possono essere usate per ridurre il numero di gradi di libertà del sistema sul quale agiscono raggruppando gli stati equivalenti e sfruttando il verificarsi delle quantità conservate.

È stato introdotto un principio variazionale, chiamato principio Hamilton-Pontryagin, nel quadro della teoria dei campi classica. Gli scienziati GEOMECH hanno dimostrato che le equazioni risultanti possono essere descritte tramite un'estensione del concetto di Dirac.

Si sono anche compiuti progressi nello studio dei sistemi meccanici dipendenti dal tempo, che sono stati descritti come caso particolare della teoria dei campi, e nell'analisi geometrica differenziale di equazioni differenziali di secondo ordine, incluso il problema inverso del calcolo delle variazioni. Quest'ultimo si occupa del problema di analizzare se un sistema di equazioni differenziali sia o meno equivalente a un sistema lagrangiano.

La stretta collaborazione tra i partner GEOMECH ha prodotto oltre ottanta articoli pubblicati in riviste sottoposte a revisione paritaria o consultabili su arXiv. I collegamenti creati con la ricerca compiuta dai fisici ha fornito un'opportunità straordinaria di avanzare nuove idee per supportare la ricerca nelle scienze matematiche. Si auspica che questi sforzi congiunti incideranno sul futuro della meccanica geometrica in Europa.