Olonomia e foliazioni singolari

Un collettore partizionato in collettori immersi (detti anche fogli) è un collettore con foliazione. Le foliazioni sorgono mentre si risolvono equazioni differenziali in diversi campi della matematica, tra cui la fisica matematica e la teoria del controllo, la quale riguarda il comportamento dei sistemi dinamici.

Tuttavia, mentre le foliazioni regolari sono state ampiamente studiate, la maggior parte delle foliazioni sono patologiche. Tali foliazioni singolari, che appaiono sui collettori come un modulo di campi vettoriali a supporto compatto, sono state il centro del progetto NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations).

I ricercatori hanno formulato la congettura di Baum-Connes (BC) per ogni foliazione singolare. Tale generalizzazione della congettura relativa agli stati del teorema di Atiyah-Singer afferma che gli oggetti puramente topologici coincidono con quelli puramente analitici. La prova è stata possibile grazie alla realizzazione di un cosiddetto gruppoide con olonomia patologica.

Il gruppoide con olonomia è una struttura matematica che tiene traccia delle simmetrie relative alle foliazioni. Questa è stata la chiave per lo sviluppo della parte analitica della congettura BC. In particolare, i ricercatori hanno introdotto il concetto di trasformazione di olonomia, una classe di equivalenza di diffeomorfismi.

Per la formulazione della parte geometrica, i ricercatori hanno spiegato il modello LeGall-Tu. Ma prima, è stato necessario definire con attenzione le condizioni che garantiscono la scorrevolezza longitudinale del gruppoide con olonomia. Solo allora è stato possibile formulare il modello della forma normale di un collettore con foliazione regolare attorno un foglio compatto.

La metodologia seguita nell’ambito del progetto NCGSF è stata documentata in una serie di tre pubblicazioni su riviste internazionali specializzate. Essa si basa su risultati precedenti di ricercatori che hanno affinato ulteriormente tale tecnica mediante la costruzione del gruppoide con olonomia di qualsiasi foliazione singolare.