Per la maggior parte delle applicazioni matematiche al mondo reale, è normale che una matrice dipenda da molti parametri e i propri autovalori sono necessari per la loro selezione. In molti casi, la scelta dei parametri è dettata da qualche obiettivo di ottimizzazione.
Nel loro lavoro per il progetto OPT OF SINGULAR VALS (Lipschitz-based optimization of singular values with applications to dynamical systems), gli scienziati si sono concentrati su particolari problemi inerenti al modello. Tra l’altro, hanno analizzato quelli riguardanti gli indici di prossimità della matrice. Tali problemi prevedono l’identificazione di funzioni analitiche valutate a livello di matrice con un insieme di autovalori predefiniti.
Nelle applicazioni di controllo, dove la dimensione dell’autovalore più grande rappresenta la stabilità del sistema, può essere opportuno ridurre al minimo tale autovalore. D’altra parte, per l’analisi della struttura in cui l’autovalore più piccolo corrisponde al carico di punta, è necessario massimizzare tale l’autovalore.
Se una matrice è molto vicina a un’altra matrice con autovalori multipli, uno degli autovalori della matrice è molto sensibile alle perturbazioni degli elementi relativi alla prima matrice. Tali problemi hanno luogo nelle applicazioni di controllo.
Gli scienziati del progetto OPT OF SINGULAR VALS hanno sviluppato algoritmi per risolvere tali problemi di ottimizzazione in funzione di alcuni parametri. Una robusta attuazione degli algoritmi, denominata EIGOPT, è stata resa pubblicamente disponibile
qui insieme a una guida.
Nel corso del progetto, gli scienziati hanno acquisito una vasta esperienza numerica con i nuovi algoritmi, risolvendo problemi che sorgono nelle impostazioni polinomiali, lineari e non lineari. Ciò è stato utilizzato in un nuovo progetto congiunto con la Technische Universität di Berlino, l’École polytechnique fédérale de Lausanne in Svizzera e la Koç Üniversitesi in Turchia.
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